George Boole fue un lógico y matemático británico, que desarrollo la lógica simbólica entre 1847 y 1854, mediante la cual las proposiciones pueden ser representadas mediante símbolos y la teoría que permite trabajar con estos símbolos, sus entradas (variables y proposiciones) y sus salidas (respuestas). Dicha lógica cuenta con operaciones lógicas que siguen e comportamiento de reglas algebraicas. Consideró que las proposiciones lógicas podían ser tratadas mediante herramientas matemáticas. Las proposiciones lógicas (asertos, frases o predicados de la lógica clásica) son aquellas que únicamente pueden tomar valores verdadero/falso, o preguntas cuyas únicas respuestas posibles sean si/no. Según esto al conjunto de reglas de la lógica simbólica se le denomina Álgebra Booleana.
El trabajo de Boole ha llegado a ser fundamental en la revolución de los computadores de hoy, a mediados del Siglo XX el álgebra booleana se utilizó en el manejo de información digital. Claude Elwood Shannon en 1930 formuló su teoría de la codificación y John Von Neumann la enunció en el modelo de arquitectura que define la estructura interna de los ordenadores desde la primer generación.
Circuitos eléctricos
Los circuitos eléctricos simples son circuitos conmutados con interruptores que están conformados por una conexión de una fuente de voltaje, un interruptor y una bombilla. La función del sistema eléctrico en abrir y cerrar el interruptor para que se encienda o apague la bombilla, abrir el interruptor equivale a que este tenga un valor de cero, cerrarlo equivale a que este tenga un valor de uno.
Los circuitos conmutados pueden estar organizados en serie cuando los interruptores están colocados en posiciones consecutivas, el interrumpir el flujo en uno de ellos deja fuera a todos los que este ubicado después del mismo; o bien, estar organizados en paralelo, cuando la interrupción de uno no afecta a los otros por estar en lineas separadas; una tercer opción será tener una combinación de ambas disposiciones.
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| Fuente: https://medium.com/@matematicasdiscretaslibro/cap%C3%ADtulo-13-algebra-booleana-443771838cca |
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| FUente: https://medium.com/@matematicasdiscretaslibro/cap%C3%ADtulo-13-algebra-booleana-443771838cca |
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La relación que existe entre los circuitos conmutados, el álgebra de boole y el sistema binario es simple, un circuito conectado en serie actúa como un función lógica AND, mientras que uno conectado en paralelo actúa como una función lógica OR.
Los circuitos así diseñados se denominan como compuertas lógicas, además de las tres ya vistas AND, OR y NOT, existen sus complementos (opuestos) NAND, NOR, XOR.
A continuación y solo como referencia se muestran las tablas de verdad de las cunciones lógicas más comunes:
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| Fuente: https://medium.com/@matematicasdiscretaslibro/cap%C3%ADtulo-13-algebra-booleana-443771838cca |
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Con estas compuertas lógicas se construyen todos los aparatos electrónicos que usamos cotidianamente, desde dispositivos sencillos como controles remotos, hasta consolas de vídeo juegos y pantallas inteligentes por citar algunos ejemplos.
Las tablas anteriormente vistas deben ser interpretadas de la siguiente manera un valor 0 es equivalente a una condición no presente, no cumplida o falsa; mientras que un valor 1 equivale a una condición presente, cumplida o verdadera. Las tablas están diseñadas para condiciones de 2 variables, pero eventualmente pueden haber más valores en los circuitos, en este caso las tablas aquí presentadas se interpretan de la siguiente forma: las columnas X y Y representan las variables implicadas en el cálculo, y la columna Q el resultado de la operación, como puede verse, están presentes todos los posibles valores que podrían presentarse para 2 entradas de datos:
Que no se cumpla X y tampoco se cumpla Y.
Que no se cumpla X pero se cumpla Y.
Que se cumpla X y no se cumpla Y.
Que se cumpla X y se cumpla Y.
Es decir 2^2 combinaciones posibles (cuatro posibles combinaciones), y su correspondiente resultado. Al diseñar circuitos para equipos de cómputo se van combinando estas compuertas para formar circuitos complejos que nos permiten contar con toda la tecnología actualmente disponible, el uso del sistema binario tiene sus complicaciones como el hecho de que para almacenar valores es necesario emplear mayor cantidad de espacios al solo disponer de 2 posibilidades en cada espacio, sin embargo brinda la ventaja de la sencillez al permitir que solo tengamos dos posibles estados que revisar.
La función de los circuitos es la siguiente:
AND requiere que ambos valores se cumplan.
OR requiere que al menos un valor se cumpla.
NOT invierte el valor.
NAND requiere que al menos un valor no se cumpla.
NOR requiere que ningún valor se cumpla.
XOR requiere que un valor se cumpla y el otro no se cumpla.
XNOR requiere que los dos valores sean iguales.
Con estas 7 compuertas lógicas se pueden construir todos los circuitos lógicos necesarios, para la tecnología que actualmente utilizamos.
Las tablas anteriormente vistas deben ser interpretadas de la siguiente manera un valor 0 es equivalente a una condición no presente, no cumplida o falsa; mientras que un valor 1 equivale a una condición presente, cumplida o verdadera. Las tablas están diseñadas para condiciones de 2 variables, pero eventualmente pueden haber más valores en los circuitos, en este caso las tablas aquí presentadas se interpretan de la siguiente forma: las columnas X y Y representan las variables implicadas en el cálculo, y la columna Q el resultado de la operación, como puede verse, están presentes todos los posibles valores que podrían presentarse para 2 entradas de datos:
Que no se cumpla X y tampoco se cumpla Y.
Que no se cumpla X pero se cumpla Y.
Que se cumpla X y no se cumpla Y.
Que se cumpla X y se cumpla Y.
Es decir 2^2 combinaciones posibles (cuatro posibles combinaciones), y su correspondiente resultado. Al diseñar circuitos para equipos de cómputo se van combinando estas compuertas para formar circuitos complejos que nos permiten contar con toda la tecnología actualmente disponible, el uso del sistema binario tiene sus complicaciones como el hecho de que para almacenar valores es necesario emplear mayor cantidad de espacios al solo disponer de 2 posibilidades en cada espacio, sin embargo brinda la ventaja de la sencillez al permitir que solo tengamos dos posibles estados que revisar.
La función de los circuitos es la siguiente:
AND requiere que ambos valores se cumplan.
OR requiere que al menos un valor se cumpla.
NOT invierte el valor.
NAND requiere que al menos un valor no se cumpla.
NOR requiere que ningún valor se cumpla.
XOR requiere que un valor se cumpla y el otro no se cumpla.
XNOR requiere que los dos valores sean iguales.
Con estas 7 compuertas lógicas se pueden construir todos los circuitos lógicos necesarios, para la tecnología que actualmente utilizamos.
Una definición formal del álgebra de Boole
Son reglas algebraicas basadas en teorías de conjuntos, para manejar ecuaciones de lógica matemática.
La lógica matemática trata con proposiciones, elementos de circuitos de dos estados, asociados por medio de operadores como AND, OR, NOT, etc., permitiendo cálculos y demostraciones como cualquier parte de las matemáticas.
Se dice que un conjunto de elementos B, en el que existen dos operaciones binarias (+ y *) tienen estructura de álgebra binaria si y solo si cumplen con los siguientes cuatro postulados.
- Las operaciones son conmutativas.
- Existen 2 elementos neutros el 0 para la adición y el 1 para el producto.
- Cada operación es distributiva con respecto a la otra (expresión del proceso de sacar el factor común).
- Para cada elemento a de B existe un complemento.
En el álgebra booleana pueden expresarse circuitos digitalesmediante el conjunto B {0,1} y las operaciones definidas como + (or), * (and) y su complemento (not), y los complementos de estas mismas operaciones.
El álgebra de Boole se basa en el diseño de funciones lógicas que serán resueltas mediante el diseño de enunciados que permiten determinar las tablas de verdad de la misma. Una función lógica esta formada por un conjunto de variables relacionadas entre sí, por una expresión que representa la combinación de un conjunto finito de símbolos, que representan constantes y/o variables, unidos por las operaciones AND, OR, NOT o sus operaciones complementarias NAND, NOR, XOR, XNOR.
Algunos de los preceptos del álgebra booleana son confusos en un principio como el hecho de que X y su complemento sumen 1, o de que X y su complemento al multiplicarse resulten en 0, pero resultan de la lógica de que en un sistema binario al solo existir dos estados posibles, el complemento de 1 resulta ser 0 y 1+0 =1, y por consecuencia, 1*0=0. Así mismo, se dice que el cero y el uno son neutros para algunas de las operaciones en este caso debido a que en el caso del 0 sumarlo a el término da como resultado el mismo valor, en el caso del 1 multiplicar el termino por 1 da como resultado el mismo valor. X+0=X y X*1=X.
Algunos de los preceptos del álgebra booleana son confusos en un principio como el hecho de que X y su complemento sumen 1, o de que X y su complemento al multiplicarse resulten en 0, pero resultan de la lógica de que en un sistema binario al solo existir dos estados posibles, el complemento de 1 resulta ser 0 y 1+0 =1, y por consecuencia, 1*0=0. Así mismo, se dice que el cero y el uno son neutros para algunas de las operaciones en este caso debido a que en el caso del 0 sumarlo a el término da como resultado el mismo valor, en el caso del 1 multiplicar el termino por 1 da como resultado el mismo valor. X+0=X y X*1=X.
Importancia del álgebra de Boole, el sistema binario y los circuitos conmutados para la vida moderna
Como hemos visto hasta aquí, tres elementos surgidos en distintas épocas pero retomados de forma magistral por los estudiosos de dichos temas: Boole, Shannon y Von Neumann, separados por el tiempo peroúnidos por el interés de contribuir al avance de la civilización, de modo tal que retomaron conocimientos previos y los conjuntaron para sus propias investigaciones, el resultado es toda la tecnología que podemos disfrutar hoy día, sin realizar mayor esfuerzo que trabajar para reunir los fondos necesarios para adquirir un equipo de telefonía movil que nos permita conectarnos a Internet, sin apenas ser conscientes de todo el esfuerzo tecnológico que se ha realizado en tan solo unas décadas desde que en 1945 fue posible diseñar las primeras computadoras que fueron teorizadas desde el siglo XVII, pero que solo fue posible construir de forma practica y eficiente a partir del último cuarto del siglo XX, que es el momento en el que la computación llega a las masas, y en la última década del siglo XX surge el Internet, de forma rudimentaria pero que disparó el avance de la tecnología de forma nunca antes experimentada al permitir a los científicos compartir información de forma inmediata, potenciando exponencialmente los avances tecnológicos, que hoy día hicieron realidad lo teorizado por autores de ciencia ficción de siglos pasado sobre dispositivos de comunicación que cabrian en la palma de la mano y permitirian a todos comunicarse desde cualquier lugar de su planeta, quedandonos a deber solo la parte de la colonización del espacio, la cual sigue en etapa inicial dado los múltiples impedimentos de naturaleza física para el hombre.
Esta tecnología con la que contamos actualmente avanza a tal velocidad que muchas veces nos convertimos en ignorantes digitales de lo que podemos hacer con la tecnología a nuestro alcance, parte de esa tecnología, si bien, no es novedosa, su nivel de madurez permite a las personas obtener ventajas competitivas en el desarrollo de sus actividades, que antes no estaban disponibles, el uso actual de las bases de datos y los sistemas de mensajería instantánea son solo un pequeño ejemplo, es bueno saber que todo ese avance tecnológico esta basado en el álgebra booleana, los circuitos conmutados y el sistema binario.
Esta tecnología con la que contamos actualmente avanza a tal velocidad que muchas veces nos convertimos en ignorantes digitales de lo que podemos hacer con la tecnología a nuestro alcance, parte de esa tecnología, si bien, no es novedosa, su nivel de madurez permite a las personas obtener ventajas competitivas en el desarrollo de sus actividades, que antes no estaban disponibles, el uso actual de las bases de datos y los sistemas de mensajería instantánea son solo un pequeño ejemplo, es bueno saber que todo ese avance tecnológico esta basado en el álgebra booleana, los circuitos conmutados y el sistema binario.
Bibliografía
Martín Martínez, María Jesús (2009), Tema 6, Algebra de Boole, Universidad de Salamanca, Open Course Ware, Curso de electrónica. http://ocw.usal.es/.
Capítulo 13: Algebra Booleana (2015), Matemáticas discretas, A medium Corporation, https://medium.com/@matematicasdiscretaslibro/cap%C3%ADtulo-13-algebra-booleana-443771838cca
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